Zad. 1. Lena pomnożyła pewną liczbę naturalną przez ułamek dziesiętny i otrzymała 22,05. Po dodaniu tych samych liczb również otrzymała 22,05. Na jakich liczbach Lena wykonywała działanie?
Zad. 2. Nadia budowała ułamki, tworząc z jednego inny w następujacy sposób: zaczynała od dodatniego ułamka właściwego i tworzyła nowy, umieszczając w liczniku różnicę między mianownikiem i licznikiem poprzedniego ułamka, a w mianowniku – iloczyn licznika i mianownika poprzedniego ułamka. Z otrzymanym ułamkiem postępowała tak samo. Trzecim ułamkiem, jaki utworzyła, były 23/210. Od jakiego ułamka rozpoczęła?
Zad. 3. W kwadracie o boku 15 cm umieszczono gwiazdkę, wyznaczoną przez 8 odcinków jednakowej długości. Długość AB jest równa 3 cm. Oblicz pole gwiazdki.
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 – Claudia Jończyk SP Jedlnia Letnisko, Nataniel Nogalski SP 3 Świebodzice, Anna Rudzińska SP 28 Warszawa, Zuzanna Winiarska SP 44 Wrocław;
- 2,5 – Kajetan Bondarewicz SP 23 Wrocław, Jakub Derewecki SP 50 Wrocław, Karolina Dominiak SP 13 Zielona Góra, Michał Filipczak SP 44 Wrocław, Gabriela Gajdzis SP 8 Zielona Góra, Ignacy Gałek SP 1 Wrocław, Anita Głowacz SP Popielów, Daria Karnitskaya SP 107 Wrocław, Adam Kosarzycki SP 16 Wrocław, Mikołaj Kręcisz SP Józefów n. Wisłą, Sophie Łobos SP "Młody Kopernik" Wałbrzych, Małgorzata Nowakowska SP 3 Głogów, Lena Płatek SP 1 Chełmek, Stanisław Solski SP 13 Zielona Góra, Dawid Zysk SP 19 Legnica;
- 1,5 – Karol Popek SP Popielów, Zofia Rochn SP 3 Dobrzeń Wielki, Konrad Troska SP Dobrzeń Wielki, Tomasz Włodarczyk SP Dobrzeń Wielki, Ignacy Włodarski SP 36 Wrocław.
- Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu
Zad. 1. Ponieważ suma szukanych liczb jest równa 22,05, a jeden ze składników jest liczbą naturalną, więc część ułamkowa drugiej liczby to 0,05. Szukane liczby znajdują się wśród par: (22,05, 0,05), (21,05, 1,05), (20,05, 2,05), (19,05, 3,05), …, (2, 20,05), (1, 21,05). Po zaokrągleniu ułamka dziesiętnego z dokładnością do jedności i oszacowaniu iloczynu szybko wyeliminujemy większość z tych par. Do sprawdzenia zostanie para (21, 1,05), ale 21·1,05 = 22,05 i spełnia ona warunki zadania.
Zad. 2. Różnica między mianownikiem a licznikiem drugiego z utworzonych ułamków jest równa 23, a iloczyn 210. Rozłóżmy 210 na iloczyny dwóch liczb: 210 = 210·1 = 105·2 = 70·3 = 42·5 = 35·6 = 30·7 = 21·10 = 15·14. Tylko w iloczynie 30·7 czynniki różnią się o 23, zatem drugi z utworzonych ułamków to 7/30. Różnica między mianownikiem a licznikiem pierwszego utworzonego ułamka wynosi 7, a iloczyn 30. Rozłóżmy 30 na iloczyny dwóch liczb: 30 = 30·1 = 15·2 = 10·3 = 6·5. Tylko w iloczynie 10·3 czynniki różnią się o 7, zatem pierwszym utworzonym ułamkiem jest 3/10. Różnica między mianownikiem i licznikiem początkowego ułamka jest równa 3, a iloczyn 10. Rozłóżmy 10 na iloczyn dwóch liczb: 10 = 10·1 = 5·2. Tylko w iloczynie 5·2 czynniki różnią się o 3, zatem Nadia rozpoczęła od ułamka 2/5, tworząc kolejno ułamki 3/10, 7/30 i 23/210.
Zad. 3. Pole kwadratu jest równe 152 = 225 cm2. Wysokość białego trójkąta jest równa (15–3):2 = 6 cm, a jego pole P = 0,5·15·6 = 45 cm2. Pole gwiazdki jest równe 225–4·45 = 45 cm2.
