Zad. 1. Niech an będzie ciągiem kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez 3. Wykaż, że an = [(3n–1)/2], dla n = 1, 2, 3, …, gdzie symbol [x] oznacza część całkowitą liczby x.
Zad. 2. Rozwiąż równanie log3x+log9x+log27x = 11.
Zad. 3. Zbadaj liczbę pierwiastków równania |x2–9x| = m w zależności od parametru m.
W marcu punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Marcin Gmurek XLIX LO Warszawa, Jagoda Janiś LO Góra, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Jadwiga Turowska LO Toruń, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2,5 – Piotr Kulczyk LO Mielec, Paweł Prasal III LO Leszno, Gabriela Pułecka V LO Wrocław.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Zauważmy, że an=3k+1 dla n=2k+1 (k=0, 1, 2, …) lub an=3k+2 dla n=2k+2 (k=0, 1, 2, …). W pierwszym przypadku mamy [(3n–1)/2] = [(3(2k+1)–1)/2] = [(6k+2)/2] = [3k+1] = 3k+1 = an. W drugim przypadku mamy: [(3n–1)/2] = [(3(2k+2)–1)/2] = [(6k+5)/2] = [3k+21/2] = 3k+2 = an.
Zad. 2. Dla x>0, przekształcając lewą stronę, otrzymujemy kolejno: log3x+log9x+log27x = log3x+log3^2x+log3^3x = log3x+1/2log3x+1/3log3x = 11, skąd otrzymujemy równanie 11/6log3x = 11, czyli log3x=6, skąd x=36=729.
Zad. 3. Rysujemy wykresy prawej i lewej strony podanego równania (czyli y=|x2–9x| i y=m). Analizując je, stwierdzamy, że dla:
- m<0 równanie nie ma pierwiastków,
- m=0 równanie ma 2 pierwiastki,
- 0<m<
