Zad. 1. Z grubego pnia czarodziejskiej wierzby wyrasta pewna liczba konarów. Z każdego konaru wyrasta tyle gałęzi, ile jest konarów. Na każdej gałęzi rośnie dwa razy więcej magicznych gruszek niż jest gałęzi na drzewie. Magicznych gruszek jest 1250. Ile konarów wyrasta z pnia czarodziejskiej wierzby?
Zad. 2. Pan Sebastian – artysta plastyk - przygotowuje wystawę swoich dzieł. Jednym z elementów aranżacji mają być sześciany zbudowane z kostek do gry o krawędzi 1 cm. Kupił tyle kostek, ile potrzeba do zbudowania sześcianu o krawędzi 12 cm. Wykorzystując trzecią część kupionych kostek, zbudował dwa sześciany, a ze wszystkich pozostałych jeszcze trzy. Jaką długość ma krawędź każdego ze zbudowanych sześcianów, jeśli są one różnej wielkości?
Zad. 3. Prostopadłościan ABCDEFG przedstawiony na rysunku ma wymiary 25 cm × 27 cm × 29 cm. Czy obwód trójkąta ACH jest większy niż 80 cm? Odpowiedź uzasadnij.
W marcu punkty zdobyli:
- 3 – Kajetan Bondarewicz SP 23 Wrocław, Michał Filipczak SP 44 Wrocław, Gabriela Gajdzis SP 8 Zielona Góra, Karolina Dominiak SP 13 Zielona Góra, Nataniel Nogalski SP 3 Świebodzice, Lena Płatek SP 1 Chełmek, Anna Rudzińska SP 28 Warszawa, Zuzanna Winiarska SP 44 Wrocław, Ignacy Włodarski SP 36 Wrocław;
- 2 – Lena Cebula SP 3 Dobrzeń Wielki, Karolina Dominiak SP 13 Zielona Góra, Anita Głowacz SP Popielów, Daria Karnitskaya SP 107 Wrocław, Adam Kosarzycki SP 16 Wrocław, Sophie Łobos SP "Młody Kopernik" Wałbrzych, Małgorzata Nowakowska SP 3 Głogów, Natalia Pisz SP 3 Dobrzeń Wielki, Zofia Rochn SP 3 Dobrzeń Wielki, Dawid Zysk SP 19 Legnica.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy liczbę konarów przez k. Wówczas liczba wszystkich gałęzi jest równa k·k=k2. Liczba gruszek na jednej gałęzi jest równa 2k2. Na wszystkich gałęziach jest k2·2k2=2k4 gruszek. Otrzymujemy równanie 2k4 = 1250, skąd k=5. Na magicznej wierzbie jest zatem 5 konarów.
Zad. 2. Pan Sebastian kupił 123=1728 kostek, a 1/3.1728=576. Krawędzie sześcianu są krótsze niż 9, bo 93 = 729. Analizując kolejne możliwości, otrzymujemy 43+83 = 576. Pozostały jeszcze 1728–576 = 1152 kostki. Po wykonaniu kilku prób otrzymujemy 33+53+103 = 1152. Sześciany miały krawędzie 3 cm, 4 cm, 5 cm, 8 cm i 10 cm.
Zad. 3. Przyjmijmy, że |DA|=25 cm, |DC|=27 cm, |DH|=29 cm. Trójkąt ACD jest prostokątny, bok AC jest przeciwprostokątną, więc jest dłuższy od każdej z przyprostokątnych, czyli |AC|>|DC|=27. Podobnie otrzymujemy kolejne zależności: |AH|>|DH|=29 i |CH|>|DH|=29. Obwód trójkąta ACH jest więc większy od 27+29+29=85, czyli jest też większy niż 80 cm.
