Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js

Podzielność (*)

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-5

autor: Jarosław Wróblewski
pracownik IM UWr

W poniższym teście na każde pytanie odpowiadasz TAK lub NIE. Klikając w odpowiedni klawisz zaznaczasz te pytania, na które odpowiedź brzmi TAK. Ponowne kliknięcie cofa zaznaczenie. Za te zadania, w których wybierzesz wszystkie poprawne odpowiedzi uzyskasz po jednym punkcie.

1)  Niech F1 = F2 = 1 oraz Fn+2 = Fn+1 + Fn dla n$\ge$1. Czy stąd wynika, że podana liczba jest podzielna przez 3?
a)  F2006
b)  F2005
c)  F2007
2)  Dowolna liczba całkowita dodatnia jest podzielna przez mn wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jednocześnie podzielna przez m i przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla
a)  m = 13, n = 18?
b)  m = 14, n = 21?
c)  m = 12, n = 15?
3)  Liczba naturalna n > 1 przy dzieleniu przez q daje resztę r. Dla każdej liczby naturalnej d spełniającej warunki:
-    1 < d < n,
-    reszta z dzielenia liczby d przez q jest równa r,
sprawdzono, że liczba n nie jest podzielna przez d.
Czy stąd wynika, że liczba n jest liczbą pierwszą, jeżeli

a)  q = 4, r = 1?
b)  q = 6, r = 5?
c)  q = 4, r = 3?
4)  Liczba naturalna k jest podzielna przez n wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr dziesiętnych liczby k jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest cechą podzielności przez n, jeżeli
a)  n = 3?
b)  n = 5?
c)  n = 7?
5)  Czy podany wielomian przyjmuje wartości całkowite dla każdego argumentu całkowitego x?
a)  x2 + x
b)  ${x^2\over2}+{x\over2}$
c)  ${x^2\over3}+{x\over3}$
6)  Niech a$\oplus$b oznacza resztę z dzielenia liczby a+b przez 2 8 = 256, natomiast niech c$\%$d oznacza resztę z dzielenia liczby c przez d. Czy wtedy
a)  $(100\oplus157)\%6=(100+157)\%6$
b)  $(100\oplus147)\%4=(100+147)\%4$
c)  $(100\oplus137)\%3=(100+137)\%3$
7)  Ciąg (Fn) jest określony wzorami F1 = F2 = 1 oraz  Fn+2 = Fn+1 + Fn dla n$\ge$1. Czy stąd wynika, że w ciągu (Fn) istnieje wyraz podzielny przez
a)  2006?
b)  2004?
c)  2005?
8)  Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n, liczba n3 przy dzieleniu przez k daje jedną z trzech reszt: 0, 1 lub k-1. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla
a)  k = 9?
b)  k = 5?
c)  k = 7?
9)  Liczby  p  i  p + 2 są liczbami pierwszymi. Czy stąd wynika, że
a)  liczba p + 22 jest złożona?
b)  liczba p +10 jest złożona?
c)  liczba p2 +1 jest złożona?
10)  Działanie m$\diamond$n zdefiniowane jest następująco. Rozkładamy każdą z liczb m, n na sumę różnych potęg dwójki, wykreślamy składniki powtarzające się w obu sumach, a następnie dodajemy składniki niewykreślone w obu sumach.
Na przykład dla m = 13 i n = 6 mamy 13 = 8+4+1 oraz 6 = 4+2. Pomijając wspólny składnik 4, otrzymujemy 13$\diamond$6 = 8+2+1 = 11. Czy zgodnie z powyższą definicją

a)  3$\diamond$4 = 7?
b)  9$\diamond$5 = 13?
c)  7$\diamond$3 = 4?
11)  Dane są liczby całkowite a, b $\in$ {0, 1, 2,...,100}. Wiadomo, że reszty z dzielenia liczb a i b przez m są równe, oraz że reszty z dzielenia liczb a i b przez n są równe. Czy stąd wynika, że a = b, jeżeli
a)  m = 13,   n = 17?
b)  m = 10,   n = 14?
c)  m = 7,   n = 11?
12)  Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n, reszta z dzielenia liczby n 2 przez k jest równa 0 lub 1. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla
a)  k = 6?
b)  k = 5?
c)  k = 3?




Powrót na górę strony